Question

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为

1

3

，

1

4

，p，且他们是否破译出密码互不影响，若三人中只有甲破译出密码的概率为

1

6

．
（1）求p的值，
（2）设在甲、乙、丙三人中破译出密码的总人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）由三人中只有甲破译出密码的概率为

1

4

，列出方程

1

3

×

3

4

×(1-p)=

1-p

4

=

1

6

即可求得；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，由此能求出X的分布列和期望．

解答：解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为时间A，B，C
由题意得，P（A）=

1

3

，P（B）=

1

4

，P（C）=p，且A，B，C相互独立，
（1）设“三人中只有甲破译出密码”为时间D，则有
P（D）=P（A•

.

B

•

.

C

）=

1

3

×

3

4

×(1-p)=

1-p

4

，
所以

1-p

4

=

1

6

，解得，p=

1

3

．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，
所以P（X=0）=

1

3

，
P（X=1）=P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）=

1

6

+

2

3

×

1

4

×

2

3

+

2

3

×

3

4

×

1

3

=

4

9

，
P（X=2）=P（A•B•

.

C

）+P（A•

.

B

•C）+P（

.

A

•B•C）=

1

3

×

1

4

×

2

3

+

1

3

×

3

4

×

1

3

+

2

3

×

1

4

×

1

3

=

7

36

，
P（X=3）=P（A•B•C）=

1

3

×

1

4

×

1

3

=

1

36

．
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 3	4 9	7 36	1 36

所以E（X）=0×

1

3

+1×

4

9

+2×

7

36

+3×

1

36

=

11

12

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解（1）题时要注意方程思想的运用，解（2）题时要认真审题，避免漏解．属于中档题．