Question

（2012•蓝山县模拟）设函数f(x)=

1

3

ax3+bx+cx(a≠0)，已知a＜b＜c，且0≤

b

a

＜1，曲线y=f（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）如果函数f（x）的递增区间为[s，t]，求|s-t|的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥k（k是与a，b，c无关的常数）时，恒有f（x）+a＜0，求实数k的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设先求出f′（x）=ax²+2bx+c，再由f′（1）=a+2b+c=0，a＜b＜c，推导出判别式△=4b²-4ac≥0，由此利用题设条件，结合根与系数的关系，能够得到|s-t|的取值范围．
（Ⅱ）由f′（x）+a＜0，a＜0，得(2x-2) • 

b

a

+x2＞0．设g(

b

a

)=(2x-2) • 

b

a

+x2，由题意，函数y=g(

b

a

)对于0≤

b

a

＜1恒成立．由此能求出k的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=ax²+2bx+c，
∴f′（1）=a+2b+c=0又a＜b＜c，
得4a＜a+2b+c＜4c，即4a＜0＜4c，
故a＜0，c＞0．
则判别式△=4b²-4ac≥0，
∴方程f′（x）=ax²+2bx+c=0（*）有两个不等实根，
设为x₁，x₂，又由f′（1）=a+2b+c=0知，x₁=1为方程（*）的一个实根，
又由根与系数的关系得x1+x2=-

2b

a

，x2=-

2b

a

-1＜0＜x1．（3分）
当x＜x₂或x＞x₁时，f′（x）＜0，当x₂＜x＜x₁时，f′（x）＞0，
故函数f（x）的递增函数区间为[x₂，x₁]，
由题设知[x₂，x₁]=[s，t]，
因此|s-t| = |x1-x2| = 2+

2b

a

，（6分）
由（1）知0≤

b

a

＜1，得|s-t|的取值范围为[2，4）． （8分）
（Ⅱ）由f′（x）+a＜0，即ax²+2bx+a+c＜0，即ax²+2bx-2b＜0．
因a＜0，得x2+

2b

a

x-

2b

a

＞0，整理得(2x-2) • 

b

a

+x2＞0． （9分）
设g(

b

a

)=(2x-2) • 

b

a

+x2，它可以看作是关于

b

a

的一次函数．
由题意，函数y=g(

b

a

)对于0≤

b

a

＜1恒成立．
故

g(1)≥0 g(0)＞0

，即

x2+2x-2≥0 x2＞0

，得x≤-

3

-1或x≥

3

-1．（11分）
由题意[k，+∞)⊆(-∞，-

3

-1)∪[

3

-1，+∞)，故k≥

3

-1．
因此k的最小值为

3

-1．（13分）．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．