Question

5．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点．
（1）求证：B₁C₁⊥CE
（2）求点C到平面B₁C₁E的距离．

Answer 1

分析 （1）以点A为原点，AD为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B₁C₁⊥CE．
（2）求出平面B₁C₁E的法向量，利用向量法能求出点C到平面B₁C₁E的距离．

解答 （1）证明：以点A为原点，AD为x轴，建立空间直角坐标系，
则B₁（0，2，2），C₁（1，2，1），C（1，0，1），E（0，1，0），
$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{CE}$=（-1，1，-1），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$•$\overrightarrow{CE}$=0，∴B₁C₁⊥CE．
（2）解：设平面B₁C₁E的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（0，-1，-2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{-y-2z=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{n}$=（1，-2，1），
∵$\overrightarrow{CE}$=（-1，1，-1），
∴点C到平面B₁C₁E的距离为$\frac{|-1-2-1|}{\sqrt{1+4+1}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查点C到平面B₁C₁E的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．