Question

（2010•湖北模拟）美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件与促销费用x万元（x≥0）满足P=3-

2

x+k

（k为常数），如果不搞促销活动，该产品的销售只能是一万件，已知生产该产品的固定投入是10万元，每生产1万件该产品需要再投入2万元，产品的销售价格定为该产品的平均成本（不含促销费用）的2倍．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

Answer 1

分析：（1）根据x=0时，P=1万件可求出k的值，然后根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系；
（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．

解答：解：（1）由题意知x=0时，P=1万件，
即1=3-

2

k

⇒k=1，∴P=3-

2

x+1

…（2分）
该产品售价为2×(

10+2P

P

)万元，y=2×(

10+2P

P

)•P-10-2P-x…（4分）
代入化简得   y=17-(

4

x+1

+x+1)，（x≥0）…（6分）
（2）y=17-(

4

x+1

+x+1)≤17-2

4 x+1 •(x+1)

=13…（9分）
当

4

x+1

=x+1，即x=1时，上式取等号                   …（11分）
所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．           …（12分）

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．