Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）
（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可，再根据直线l与g（x）的图象相切，所以g（x）在点（1，0）的导函数值为1，建立方程组，解之即可求出g（x）的解析式；
（2）先利用导数研究出函数h（x）在（0，+∞）的单调性，连续函数在区间（0，+∞）内只有一个极值，那么极大值就是最大值．

解答：解：（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，
所以直线l的方程为y=x-1．（2分）
又因为直线l与g（x）的图象相切，
所以g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n在点（1，0）的导函数值为1．

g(1)=0 g′(1)=1

?

m=-1 n= 1 6

所以g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2-x+

1

6

（6分）

（2）因为h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x²-x+1（x＞0）（7分）
所以h′(x)=

1

x

-2x-1=

1-2x2-x

x

=-

(2x-1)(x+1)

x

（9分）
当0＜x＜

1

2

时，h′（x）＞0；当x＞

1

2

时，h′（x）＜0（11分）
因此，当x=

1

2

时，h（x）取得最大值h(

1

2

)=

1

4

-ln2（12分）
所以函数h（x）的值域是(-∞，

1

4

-ln2]．（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．