Question

如图，F是抛物线y²＝4x的焦点，Q是准线与x轴的交点，直线经过点Q．

直线与抛物线有唯一公共点，求的方程；

直线与抛物线交于A，B两点，

(Ⅰ)记FA，FB的斜率分别为k₁，k₂，求k₁＋k₂的值；

(Ⅱ)若点R在线段AB上，且满足，求点R的轨迹方程．

Answer 1

答案：
解析：

依题意Q(－1，0)，直线斜率存在，设其斜率为k，则的方程为y＝k(x＋1)，代入抛物线方程有：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0　　2分 　　(1)若k≠0，令△＝0得，k＝±1，此时，的方程为y＝x＋1，y＝－x－1．　　4分 　　若k＝0，方程有唯一解．此时方程为y＝0　　5分 　　(2)显然k≠0，记A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　则，，　　7分 　　(Ⅰ)　　9分 　　(Ⅱ)设点R的坐标为(x，y)，∵，∴， 　　∴　　11分∴，　　12分 　　由△＞0得，－1＜k＜1，又k≠0，∴． 　　综上，点R的轨迹方程为．　　13分