Question

函数y=f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x、y∈R，都满足f（x）•f（y）=f（x+y），则下列四个结论中，正确的个数是（　　）
（1）f（0）=0；     （2）对任意x∈R，都有f（x）＞0；     （3）f（0）=1；
（4）若x＜0时，有f（x）＞f（0），则f（x）在R上的单调递减．

A．1个

B．2个

C．3个

D．0个

Answer 1

分析：首先令x=y=0，代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可求出f（0）的数值，利用x=

x

2

+

x

2

代入f（x）•f（y）=f（x+y），可得（2）正确．再设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]，
进而结合题意判断其符号，即可得到答案．

解答：解：令x=y=0代入f（x）•f（y）=f（x+y），
所以f（0）•f（0）=f（0），
解得：f（0）=0或者f（0）=1．
令x=0代入f（x）•f（y）=f（x+y），可得代入f（0）•f（y）=f（y），
因为函数y=f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，
所以f（0）=1．
所以（3）正确．
因为对于任意x∈R，都有f(x)=f(

x

2

+

x

2

)=[f(

x

2

)]2 ≥0，并且 f(

x

2

)≠0，
所以f（x）＞0．
所以（2）正确．
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]，
因为x₁-x₂＜0，
所以f（x₁-x₂）＞f（0）=1，
所以f（x₁-x₂）-1＞0．
又因为f（x₂）＞0，
所以f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）在R上是减函数．
所以（4）正确．
故选C．

点评：本题主要考查抽象函数的性质，解决抽象函数的方法一般是利用赋值法求值、判断函数的单调性、判断函数的奇偶性，此题考查形式的灵活变形运算的能力．