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函数y=f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对于任意的x、y∈R,都满足f(x)•f(y)=f(x+y),则下列四个结论中,正确的个数是(  )
(1)f(0)=0;     (2)对任意x∈R,都有f(x)>0;     (3)f(0)=1;
(4)若x<0时,有f(x)>f(0),则f(x)在R上的单调递减.
分析:首先令x=y=0,代入f(x)•f(y)=f(x+y)即可求出f(0)的数值,利用x=
x
2
+
x
2
代入f(x)•f(y)=f(x+y),可得(2)正确.再设x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1],
进而结合题意判断其符号,即可得到答案.
解答:解:令x=y=0代入f(x)•f(y)=f(x+y),
所以f(0)•f(0)=f(0),
解得:f(0)=0或者f(0)=1.
令x=0代入f(x)•f(y)=f(x+y),可得代入f(0)•f(y)=f(y),
因为函数y=f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,
所以f(0)=1.
所以(3)正确.
因为对于任意x∈R,都有f(x)=f(
x
2
+
x
2
)=[f(
x
2
)]
2
 ≥0
,并且 f(
x
2
)≠0

所以f(x)>0.
所以(2)正确.
设x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1],
因为x1-x2<0,
所以f(x1-x2)>f(0)=1,
所以f(x1-x2)-1>0.
又因为f(x2)>0,
所以f(x2)f[(x1-x2)-1]>0,即f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x)在R上是减函数.
所以(4)正确.
故选C.
点评:本题主要考查抽象函数的性质,解决抽象函数的方法一般是利用赋值法求值、判断函数的单调性、判断函数的奇偶性,此题考查形式的灵活变形运算的能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数y=f(x)=ax+
1x+b
(a≠0)
的图象过点(0,-1)且与直线y=-1有且只有一个公共点;设点P(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任意一点,过点P分别作直线y=x和直线x=1的垂线,垂足分别是M,N.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心Q;
(3)证明:线段PM,PN长度的乘积PM•PN为定值;并用点P横坐标x0表示四边形QMPN的面积..

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科目:高中数学 来源: 题型:

某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆.
规定:每辆自行车的日租金不超过20元,每辆自行车的日租金x元只取整数,并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用y表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得).
(1)求函数y=f(x)的解析式及定义域;
(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元?

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知:射线OA为y=kx(k>0,x>0),射线OB为y=-kx(x>0),动点P(x,y)在∠AOx的内部,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,四边形ONPM的面积恰为k.
(1)当k为定值时,动点P的纵坐标y是横坐标x的函数,求这个函数y=f(x)的解析式;
(2)根据k的取值范围,确定y=f(x)的定义域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

关于函数y=f(x),有下列命题:
①若a∈[-2,2],则函数f(x)=
x2+ax+1
的定域为R;
②若f(x)=log
1
2
(x2-3x+2)
,则f(x)的单调增区间为(-∞,
3
2
)

③(理)若f(x)=
1
x2-x-2
,则
lim
x→2
[(x-2)f(x)]=0

(文)若f(x)=
1
x2-x-2
,则值域是(-∞,0)∪(0,+∞)
④定义在R的函数f(x),且对任意的x∈R都有:f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),则4是y=f(x)的一个周期.
其中真命题的编号是
 
.(文理相同)

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科目:高中数学 来源: 题型:

某服装批发商场经营的某种服装,进货成本40元/件,对外批发价定为60元/件.该商场为了鼓励购买者大批量购买,推出优惠政策:一次购买不超过50件时,只享受批发价;一次购买超过50件时,每多购买1件,购买者所购买的所有服装可在享受批发价的基础上,再降低0.1元/件,但最低价不低于50元/件.
(Ⅰ)问一次购买150件时,每件商品售价是多少?
(Ⅱ)问一次购买200件时,每件商品售价是多少?
(Ⅲ)设购买者一次购买x件,商场的售价为y元,试写出函数y=f(x)的表达式.

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