Question

17．如图所示，已知四边形ABCD各边的长分别为AB=5，BC=5，CD=8，DA=3，且点A、B、C、D在同一个圆上，则对角线AC的长为$\frac{55}{7}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理，结合∠B+∠D=π，即可求出AC的长．

解答 解：∵A、B、C、D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，AB=5，BC=5，CD=8，DA=3，
∴∠B+∠D=π，
∴由余弦定理可得AC²=3²+8²-2•3•8•cosD=73-48cosD，
AC²=5²+5²-2•5•5•cosB=50-50cosB，
∵∠B+∠D=π，即cosB=-cosD，
∴$\frac{50-A{C}^{2}}{50}$=-$\frac{73-A{C}^{2}}{48}$，
∴可解得AC=$\frac{55}{7}$．
故答案为：$\frac{55}{7}$．

点评 本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键，属于基本知识的考查．