Question

已知函数f（x）=ae^x和g（x）=lnx-lna的图象与坐标轴的交点分别是点A，B，且以点A，B为切点的切线互相平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数F(x)=g(x)+

1

x

，求函数F（x）的极值；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x₀，我们把|f（x₀）-g（x₀）|的值称为两函数在x₀处的偏差，求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值；
（Ⅱ）利用导函数，找到函数F(x)=g(x)+

1

x

的单调区间，进而得到极值；
（Ⅲ）整理出偏差函数，求其最小值大于2即可得证．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=aex，g′(x)=

1

x

，
函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），
函数y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），
由题意得f′(0)=g′(a)，即a=

1

a

，
又∵a＞0，∴a=1 （4分）
（Ⅱ）∵F(x)=g(x)+

1

x

，∴F′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∴函数F（x）的递减区间是（0，1），递增区间是（1，+∞），
所以函数F（x）极小值是F（1）=1，函数F（x）无极大值（8分）
（Ⅲ）函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为F（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx，x∈（0，+∞），
∴F′(x)=ex-

1

x

设x=t为F′(x)=ex-

1

x

=0的解，即

1

t

=et
则当x∈（0，t）时，F'（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，F'（x）＞0，
∴F（x）在（0，t）内单调递减，在（t，+∞）上单调递增，
∴F(x)min=F(t)=et-lnt=et-ln

1

et

=

1

t

+t（10分）
∵F′(1)=e-1＞0，F′(

1

2

)=

e

-2＜0，∴

1

2

＜t＜1，
故F(x)min=

1

t

+t＞2，
即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2（14分）

点评：本题综合考查了导数的几何意义及导数在解决恒成立问题、最值问题中的应用，解题时要善于构造新函数解决不等式恒成立问题，计算要认真细致