Question

已知椭圆C过点M(1，

6

2

)，F(-

2

，0)是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知列出关于a，b的方程组，解之即得椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）先设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），2|MF|=|PE|+|QF|，得出x₁+x₂=2，下面对x₁与x₂关系进行分类讨论：①当x₁≠x₂时，②当x₁=x₂时，分别求得线段PQ的中垂线方程，看它是否经过一个定点A．

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知，
得

1 a2 + 6 4 b2 =1 a2-b2=2

，解得

a2=4 b2=2

所以椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1，
（2）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1，
可知|PF|=

(x1+ 2 )2+ y 2 1

=

(x1+ 2 )2+2- x 2 1 2

=2+

2

2

x1
同理|OF|=2+

2

2

x2，|MF|=2+

2

2

，
∵2|MF|=|PE|+|QF|，∴2(2+

2

2

)=4+

2

2

(x1+x2)，∴x₁+x₂=2，
①当x₁≠x₂时，由

x 1 2 +2 y 2 1 =4 x 2 2 +2 y 2 2 =4

，得x₁²-x₂²+2（y₁²-y₂²）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

设线段PQ的中点为N（1，n），由kPQ

y1-y2

x1-x2

=-

1

2n

，
得线段PQ的中垂线方程为y-n=2n（x-1）
∴（2x-1）n-y=0，该直线恒过一定点A（

1

2

，0），
②当x₁=x₂时，P（1，-

6

2

），Q（1，

6

2

）或P（1，

6

2

），Q（1，-

6

2

）
线段PQ的中垂线是x轴，也过点A（

1

2

，0），
∴线段PQ的中垂线过点A（

1

2

，0）．

点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等   突出考查了分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能．