Question

已知数列{a_n}是首项为，公比为的等比数列，设b_n＋15log₃a_n＝t，常数t∈N^*.
(1)求证：{b_n}为等差数列；
(2)设数列{c_n}满足c_n＝a_nb_n，是否存在正整数k，使c_k，c_k＋1，c_k＋2按某种次序排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）见解析（2）存在k＝1，t＝5适合题意．

(1)a_n＝3－，b_n＋1－b_n＝－15log₃＝5，
∴{b_n}是首项为b₁＝t＋5，公差为5的等差数列．
(2)c_n＝(5n＋t) ·3－，则c_k＝(5k＋t)·3－，
令5k＋t＝x(x>0)，则c_k＝x·3－，c_k＋1＝(x＋5)·3－，c_k＋2＝(x＋10)·3－.
①若＝c_k＋1c_k＋2，则²＝(x＋5)·3－·(x＋10)·3－.
化简得2x²－15x－50＝0，解得x＝10；进而求得k＝1，t＝5；
②若＝c_kc_k＋2，同理可得(x＋5)²＝x(x＋10)，显然无解；
③若＝c_kc_k＋1，同理可得(x＋10)²＝x(x＋5)，方程无整数根．
综上所述，存在k＝1，t＝5适合题意．