Question

如图，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，DE∥AB，DE=1，∠CBD=60°，F为AC的中点．
（I）求点A到平面BCE的距离；
（II）证明：平面ABC⊥平面ACE；
（III）求平面BCD与平面ACE所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（I）由AB=BC=BD=2，∠CBD=60°，DE=1，知CD=2，CE=BE=

5

，设点A到平面BCE的距离为h，由V_A-BCE=V_C-ABE，得

1

3

×2h=

1

3

×

3

×2，由此能求出点A到平面BCE的距离．
（II）由AB=BC，F为AC中点，知BF⊥AC，取BC中点G，连EF，FG，GD，FG∥DE∥AB，FG=DE=

1

2

AB，故四边形FGDE为平行四边形，EF∥DG，由G为BC中点，BD=CD，知DG⊥BC，由此能够证明平面ABC⊥平面ACE．
（III）延长AE于BD交于点H，连CH，则CH是平面ACE与面BCD的交线，在△BCH中，由BC=2，BH=4，∠BCD=60°，知BC⊥CH，由AB⊥平面BCD，知AC⊥CH，故∠ACB即为所求的二面角的平面角，由此能求出平面BCD与平面ACE所成二面角的大小．

解答：解：（I）∵AB=BC=BD=2，
∠CBD=60°，DE=1，
∴CD=2，CE=BE=

5

，
∴cos∠CEB=

5+5-4

2× 5 × 5

=

3

5

，
∴sin∠CEB=

1- 9 25

= 

4

5

，
∴S△BCE=

1

2

×

5

×

5

×

4

5

=2，
∵DE∥AB，
∴ABDE是平面图形，
∵AB⊥平面BCD，
∴BD⊥AB，
∵AB=BD=2，
∴S△ABE=

1

2

×2×2=2，
作CM⊥BD，交BD于M，
∵BC=BD=CD=2，
∴CM=

3

，
∵AB⊥平面BCD，
∴CM⊥AB，
∴CM⊥面ABDE，即CM是棱锥C-ABE的高，
设点A到平面BCE的距离为h，
由V_A-BCE=V_C-ABE，得

1

3

×2h=

1

3

×

3

×2，
∴h=

3

．
即点A到平面BCE的距离为

3

．
（II）∵AB=BC，F为AC中点，
∴BF⊥AC，
取BC中点G，连EF，FG，GD，FG∥DE∥AB，FG=DE=

1

2

AB，
故四边形FGDE为平行四边形，EF∥DG，
∵G为BC中点，BD=CD，∴DG⊥BC，
∵AB⊥面BCD，∴AB⊥DG，
∵DG⊥面ABC，∴DG⊥BF，∴EF⊥BF，
∴BF⊥面ACE，
∴平面ABC⊥平面ACE．
（III）延长AE于BD交于点H，连CH，
则CH是平面ACE与面BCD的交线，
在△BCH中，
∵BC=2，BH=4，∠BCD=60°，
∴BC⊥CH，
∵AB⊥平面BCD，
∴AC在平面BCD中的射影为BC，
∴AC⊥CH，
故∠ACB即为所求的二面角的平面角，
在△ABC中，AB⊥BC，且AB=BC，∴∠ACB=45°，
故平面BCD与平面ACE所成二面角为45°．

点评：本题考查点A到平面BCE的距离的求法，证明平面ABC⊥平面ACE，求平面BCD与平面ACE所成二面角的大小．解题时要认真审题，注意合理地把空间问题等价转化为平面问题．