Question

5．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有两个相等实根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈（-1，2]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据f（2）=0及方程f（x）=x有两个相等实根，求出a与b的值，即可确定出f（x）解析式；
（2）根据x的范围，利用二次函数的性质求出出f（x）的值域即可．

解答 解：（1）根据题意得：解$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=0}\\{（b-1）^{2}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
则f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x；
 （2）∵x∈（-1，2]，f（x）=-$\frac{1}{2}$（x²-2x+1）+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的值域是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 此题考查了二次函数的性质，函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．