Question

【题目】已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设棱台高为h，根据侧棱与底面所成的角为60°求得h=，再求得＝(－，，)，＝(－，，－)，再求cos〈，〉的值，即得异面直线AD1与B1C所成角的余弦值.

设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2，A1C1＝B1D1＝，

∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO为侧棱与底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，

设棱台高为h，则tan60°＝，∴h＝，

∴A(0，－，0)，D1(－，0，)，B1(，0，)，C(0，，0)，

∴＝(－，，)，＝(－，，－)，

∴cos〈，〉＝＝，

故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为．

故答案为：