Question

【题目】已知圆 与直线 相切.
（1）求圆 的方程；
（2）过点 的直线 截圆所得弦长为 ，求直线 的方程；
（3）设圆 与 轴的负半轴的交点为 ，过点 作两条斜率分别为 的直线交圆 于 两点，且 ，证明：直线 恒过一个定点，并求出该定点坐标.

Answer 1

【答案】
（1）解：

∵圆 与直线 相切，

∴圆心 到直线的距离为 ，

∴圆 的方程为： .

（2）解：若直线 的斜率不存在，直线 为 ，

此时直线 截圆所得弦长为 ，符合题意；

若直线 的斜率存在，设直线 为 ，即 ，

由题意知，圆心到直线的距离为 ，解得： ，

此时直线 为 ，

则所求的直线 为 或

（3）解：由题意知， ，设直线 ，

与圆方程联立得： ，

消去 得： ，

∴

∴ ， ，即 ，

∵ ，用 代替 得：

∴直线 的方程为：

即 ，

整理得：

则直线 定点为

【解析】(1)由圆与直线相切得到圆心到切线的距离公式等于圆的半径列出关于r的方程，求出其值即可求出圆的方程。(2)分两种情况：当直线的斜率不存在时直线x=1满足题意；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，根据直线与圆的切线得到圆心到直线的距离d=r，列出关于k的方程解出方程求出k的值，进而得到直线的方程，(3)根据题意求出点A的坐标，设出直线AB的方程与圆的方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之积，将A的横坐标代入表示出B的横坐标，进而表示出B的纵坐标确定出B的坐标，由题中 k1 k2 = 2，表示出点C的坐标故可求出直线BC的解析式，进而可得出直线BC恒过一个定点，求出该点坐标即可。
【考点精析】掌握圆的标准方程和直线与圆的三种位置关系是解答本题的根本，需要知道圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程；直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．