Question

8．已知函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$为奇函数
（1）求a，b的值
（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$为奇函数，可得$\frac{b-{2}^{-x}}{{2}^{-x}+a}$=-$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$，即可求a，b的值
（2）利用导数小于0，即可证明f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．

解答 （1）解：∵函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$为奇函数，
∴$\frac{b-{2}^{-x}}{{2}^{-x}+a}$=-$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$，
∴b=1，a=1，
（2）证明：f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴f′（x）=-$\frac{{2}^{x}•2ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＜0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．