Question

如图，AB是⊙O的直径，M为圆上一点，ME⊥AB，垂足为E，点C为⊙O上任一点，AC，EM交于点D，BC交DE于点F．求证：
（1）AE：ED=FE：EB；
（2）EM²=ED•EF．

Answer 1

证明：（1）∵MN⊥AB，∴∠B=90°-∠BFE=∠D，
∴△AED∽△FEB，
∴AE：ED=FE：EB；（5分）
（2）延长ME与⊙O交于点N，由相交弦定理，
得EM•EN=EA•EB，且EM=EN，
∴EM²=EA•EB，由（1）
∴EM²=ED•EF．（10分）
分析：（1）欲证：AE：ED=FE：EB，可先通过证明两个三角形△AED与△FEB相似得到；
（2）先作出辅助线：延长ME与⊙O交于点N，再由相交弦定理，得关系式结合线段相等：EM=EN，最后结合（1）的结论即得．
点评：此题主要考查的是相似三角形的性质及与圆有关的比例线段，正确的判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．属于基础题．