Question

3．已知f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$+a（a∈R）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）是定义域内的增函数；
（3）存在x₀∈R，使得f（x₀）-λ=0成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0，即可求a的值；
（2）利用函数的单调性的定义证明：f（x）是定义域内的增函数；
（3）求出函数的值域，即可求实数λ的取值范围．

解答 （1）解：由f（0）=0，可得0+a=0，∴a=0；
（2）证明：f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=$\frac{1{0}^{2x}-1}{1{0}^{2x}+1}$
设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（1{0}^{2{x}_{1}}-1{0}^{2{x}_{2}}）}{（1{0}^{2{x}_{1}}+1）（1{0}^{2{x}_{2}}+1）}$，
因为x₁＜x₂，所以$1{0}^{2{x}_{1}}$＜$1{0}^{2{x}_{2}}$，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）为增函数；
（3）解：f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=$\frac{1{0}^{2x}-1}{1{0}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$∈（-1，1），
因为存在x₀∈R，使得f（x₀）-λ=0成立，
所以λ∈（-1，1）．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．