Question

【题目】已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E为A1C的中点

（1）求证：D1E∥平面BB1C1C；
（2）求证：BC⊥A1C；
（3）若A1A=AB，求二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取A1B1中点F，连结D1F，EF，B1C，

∵EF是△A1CB1的中位线，∴EF∥CB1，

∵AB∥DC，∴A1B1∥D1C1，

又∵AB=2，AD=1，∠ABC=60°，∴D1C1=1，

∴D1C1=FB1，∴四边形D1C1B1F为平行四边形，∴D1F∥C1B1，

又∵EF∩D1F=F，CB1∩C1B1=B1，

∴平面D1EF∥平面BB1C1C，

又∵D1E平面D1EF，∴D1E∥平面BB1C1C．

（2）证明：以A为坐标原点，直线AB、AA1分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

设AA1=a，则B（0，2，0），C（ ， ，0），A1（0，0，a），

=（ ）， =（ ），

∵ = ，

∴BC⊥A1C．

（3）解：∵A1A=AB=2，

∴A（0，0，0），B1（0，2，2），C（ ，0），A1（0，0，2），

∴ =（ ，0）， =（0，0，2）， =（0，2，2），

设 =（x，y，z）是平面A1AC的法向量，

则 ，取y=1，得 =（﹣ ，1，0），

设 是平面AB1C的法向量，

则 ，取c=1，得 =（ ），

设二面角A1﹣AC﹣B1的平面角为θ，

则cosθ=|cos＜ ＞|= = = ，

∴二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值为 ．

【解析】（1）取A1B1中点F，连结D1F，EF，B1C，由中位线定理，得EF∥CB1 ， 从而得到四边形D1C1B1F为平行四边形，进而平面D1EF∥平面BB1C1C，由此能证明D1E∥平面BB1C1C．（2）以A为坐标原点，直线AB、AA1分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥A1C．（Ⅲ）求出平面A1AC的法向量和平面AB1C的法向量，利用向量法能求出二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．