Question

10．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则ab的取值范围是（　　）

• A． （0，4）
• B． （0，4]
• C． [4，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则ab的最大值．

解答 解：作出不等式对应的平面区域，
由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
则目标函数对应直线的斜率-$\frac{a}{b}$＜0，
平移直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（1，1），
此时z的最大值为z=a+b=4≥2$\sqrt{ab}$，
∴ab≤4，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．