Question

7．函数f（x）=log_a（2x²+x），（a＞0，a≠1），若?x∈（0，$\frac{1}{2}$]，恒有f（x）＞0，解关于x的不等式：f[log₂（9^x+2^2x+1+1）]＞f[2log₄（6^x+4^x+1+1）]．

Answer 1

分析 根据题意，由f（x）＞0得出0＜a＜1；判断f（x）在（0，+∞）上是减函数，
由此把所求的不等式化为对数不等式，再根据对数函数的单调性求出x的取值范围即可．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，2x²+x∈（0，1），
函数f（x）=log_a（2x²+x）在x∈（0，$\frac{1}{2}$）时恒有f（x）＞0，
∴0＜a＜1；
由2x²+x＞0，得f（x）的定义域为（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0+∞）；
又∵t=2x²+x在（0，+∞）上是增函数，
y=log_at在（0，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）=log_a（2x²+x）在（0，+∞）上是减函数；
又∵9^x+2^2x+1+1＞1，6^x+4^x+1+1＞1，
∴log₂（9^x+2^2x+1+1）＞0，2log₄（6^x+4^x+1+1）＞0；
由f（x）的单调性知，
f（log₂（9^x+2^2x+1+1））＞f（2log₄（6^x+4^x+1+1））可化为
log₂（9^x+2^2x+1+1）＜2log₄（6^x+4^x+1+1），
即9^x+2^2x+1+1＜6^x+4^x+1+1，
∴3^2x+2•2^2x＜2^x•3^x+4•2^2x；
∴${（\frac{3}{2}）}^{2x}$-${（\frac{3}{2}）}^{x}$-2＜0，
∴[${（\frac{3}{2}）}^{x}$-2][${（\frac{3}{2}）}^{x}$+1]＜0，
解得-1＜${（\frac{3}{2}）}^{x}$＜2，
即x＜${log}_{\frac{3}{2}}$2；
∴不等式的解集为{x|x＜${log}_{\frac{3}{2}}$2}．

点评 本题考查了对数函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．