Question

10．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （1，3）
• B． （$1，\sqrt{3}$）
• C． （1，2）
• D． （$1，\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 设其中一条渐近线与x轴的夹角为θ，由已知条件得tanθ＜1，渐近线的方程为$y=\frac{b}{a}x$，从而$\frac{b}{a}＜1$，由此能求出该双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：如图，因为△ABC为等腰直角三角形，所以∠BAx=45°，
设其中一条渐近线与x轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tanθ＜1，
又上述渐近线的方程为$y=\frac{b}{a}x$，
所以$\frac{b}{a}＜1$，又${e^2}=1+\frac{b^2}{a^2}＜2$，
所以$1＜e＜\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．