Question

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x） 满足0＜f′（x）＜1．
（1）若函数f（x）为集合M中的任一元素，试证明方程f（x）-x=0 只有一个实根
（2）判断函数g（x）=

x

2

-

lnx

2

+3（x＞1）是否是集合M中的元素，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）构造函数h（x）=f（x）-x，由已知可判断h（x）是单调递减函数，由单调函数至多有一个零点，及方程f（x）-x=0有实根，可证得答案；
（2）结合函数g（x）=

x

2

-

lnx

2

+3（x＞1），分析条件：①方程g（x）-x=0有实根；②函数g（x）的导数g′（x）满足0＜g′（x）＜1．两个条件是否满足，可得结论；

解答：解：（1）令h（x）=f（x）-x，
则h′（x）=f′（x）-1，
∵函数f（x）的导数f′（x） 满足0＜f′（x）＜1，
∴h′（x）=f′（x）-1＜0，
故h（x）是单调递减函数，
∴方程h（x）=0，即f（x）-x=0至多有一解，
又由题设①知方程f（x）-x=0有实数根，
∴方程f（x）-x=0有且只有一个实数根．
（2）易知，g′（x）=

1

2

-

1

2x

，
则0＜g′（x）＜1，满足条件②；
令F（x）=g（x）-x-

x

2

-

lnx

2

+3，（x＞1），
则F（e）=-

e

2

-

lne

2

+3=-

e

2

+

5

2

＞0，
F（e²）=-

e2

2

+1＜0，
又F（x）在区间[e，e²]上连续，
∴F（x）在[e，e²]上存在零点x₀，即方程g（x）-x有实数根x₀∈[e，e²]，
故g（x）满足条件①，
综上可知，g（x）∈M．

点评：本题是函数与方程的综合应用，是函数零点与方程根关系的综合应用，其中利用导数法分析函数的单调性，进而判断函数零点的个数及对应方程根的个数是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．