Question

【题目】设P为双曲线 =1右支上的任意一点，O为坐标原点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，则平行四边形PAOB的面积为 ．

Answer 1

【答案】15
【解析】解：方法一：双曲线 =1的渐近线方程为y=± x， 不妨设P为双曲线右支上一点，其坐标为P（6secφ，5tanφ），
则直线PA的方程为y﹣5tanφ=﹣ （x﹣6secφ），
将y= x代入，解得点A的横坐标为xA=3（secφ+tanφ）．
同理可得，点B的横坐标为xB=3（secφ﹣tanφ）．
设∠AOF=α，则tanα= ．
∴平行四边形PAOB的面积为S□PAOB=|OA||OB|sin2α= sin2α= sin2α= tanα=18× =15，
平行四边形PAOB的面积15，
方法二：双曲线 =1的渐近线方程为y=± x，P（x0 ， y0）直线PA的方程为y﹣y0=﹣ （x﹣x0），
直线OB的方程为y= x，
，解得xA= （6y0+5x0）．又P到渐近线OA的距离d= = ，又tan∠xOA= ∴cos∠xOA= ，
∴平行四边形OQPR的面积S=2S△OPA=|OA|d= = × 丨6y0+5x0丨× = × 900=15，
所以答案是：15．