【题目】如图,地面上有一竖直放置的圆形标志物,圆心为C,与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点,且PG=50m.在观测点正前方10m处(即PD=10m)有一个高为10m(即ED=10m)的广告牌遮住了视线,因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧.
(1)若圆形标志物半径为25m,以PG所在直线为x轴,G为坐标原点,建立直角坐标系,求圆C和直线PF的方程;
(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切值为 ,求该圆形标志物的半径.
【答案】
(1)解:圆C:x2+(y﹣25)2=252.
直线PB方程:x﹣y+50=0.
设直线PF方程:y=k(x+50)(k>0),
因为直线PF与圆C相切,所以 ,解得
所以直线PF方程: ,即4x﹣3y+200=0
(2)解:设直线PF方程:y=k(x+50)(k>0),圆C:x2+(y﹣r)2=r2.
因为tan∠APF=tan(∠GPF﹣∠GPA)= = ,所以
所以直线PF方程: ,即40x﹣9y+2000=0.
因为直线PF与圆C相切,所以 ,
化简得2r2+45r﹣5000=0,即(2r+125)(r﹣40)=0.
故r=40
【解析】(1)利用圆心与半径,可得圆的方程,利用PF与圆C相切,可得直线PF的方程;(2)先求出直线PF方程,再利用直线PF与圆C相切,求出该圆形标志物的半径.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD= .
(Ⅰ)求证:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求四棱锥P﹣ABCD的体积.
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【题目】已知数列{an}为单调递减的等差数列,a1+a2+a3=21,且a1﹣1,a2﹣3,a3﹣3成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=|an|,求数列{bn}的前项n和Tn .
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【题目】已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y= 相交于A、B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大时,直线的倾斜角可以是:①30°;②45°;③60°;④120°⑤150°.其中正确答案的序号是 . (写出所有正确答案的序号)
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【题目】已知f(x)为定义在[﹣1,1]上的奇函数,当x∈[﹣1,0]时,函数解析式为 . (Ⅰ)求f(x)在[0,1]上的解析式;
(Ⅱ)求f(x)在[0,1]上的最值.
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【题目】已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣3x,则函数g(x)=f(x)﹣x+3的零点的集合为( )
A.{1,3}
B.{﹣3,﹣1,1,3}
C.{2﹣ ,1,3}
D.{﹣2﹣ ,1,3}
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【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,BA⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2,PA=3,AD=6,PA⊥底面ABCD,E是PD上的动点.若CE∥平面PAB,则三棱锥C﹣ABE的体积为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知点A(0,﹣2),椭圆E: =1(a>b>0)的离心率为 ,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为 ,O为坐标原点
(1)求E的方程
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,问:是否存在直线l,使以PQ为直径的圆经过点原点O,若存在,求出对应直线l的方程,若不存在,请说明理由.
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