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【题目】如图,地面上有一竖直放置的圆形标志物,圆心为C,与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点,且PG=50m.在观测点正前方10m处(即PD=10m)有一个高为10m(即ED=10m)的广告牌遮住了视线,因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧.

(1)若圆形标志物半径为25m,以PG所在直线为x轴,G为坐标原点,建立直角坐标系,求圆C和直线PF的方程;
(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切值为 ,求该圆形标志物的半径.

【答案】
(1)解:圆C:x2+(y﹣25)2=252

直线PB方程:x﹣y+50=0.

设直线PF方程:y=k(x+50)(k>0),

因为直线PF与圆C相切,所以 ,解得

所以直线PF方程: ,即4x﹣3y+200=0


(2)解:设直线PF方程:y=k(x+50)(k>0),圆C:x2+(y﹣r)2=r2

因为tan∠APF=tan(∠GPF﹣∠GPA)= = ,所以

所以直线PF方程: ,即40x﹣9y+2000=0.

因为直线PF与圆C相切,所以

化简得2r2+45r﹣5000=0,即(2r+125)(r﹣40)=0.

故r=40


【解析】(1)利用圆心与半径,可得圆的方程,利用PF与圆C相切,可得直线PF的方程;(2)先求出直线PF方程,再利用直线PF与圆C相切,求出该圆形标志物的半径.

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