【题目】已知椭圆的离心率为
,右焦点为
,且椭圆
过点
.
(I)求椭圆的方程;
(II)若点分别为椭圆
的左右顶点,点
是椭圆
上不同于
的动点,直线
与
直线x=a交于点
,证明:以线段
为直径的圆与直线
相切.
【答案】(I);(II)详见解析.
【解析】
(I)设椭圆的焦距为
,依题意,列出方程组,求得
的值,即可求解椭圆的标准方程;
(II)方法一 ①设点的坐标为
,当
时,得到直线
的方程,求得点
的坐标, 进而求得线段
的中点为
,利用点
到直线
的距离等于半径,即可证明;②又由
可得点Q的坐标,求得线段
中点
的坐标,利用圆心到直线的距离等于半径,可作出证明.
方法二:依题意,直线的斜率存在,设直线
的方程为
,联立方程组,利用根与系数的关系,求得点P的坐标,进而求得以
为直径的圆的圆心坐标为
,半径为
,再由直线与圆的位置关系的判定,即可得到结论.
(I)设椭圆的焦距为
,依题意,
,
解得,
,
,故椭圆C的标准方程为
.
(II)方法一①设点的坐标为
,
,
因为在椭圆上,
,
,
由两点的坐标为
,
直线
的方程为:
,
当时
,则点
的坐标为
,
设线段的中点为
,则点
的坐标为
,有
,
直线的方程为:
,整理为
,
由,
则点到直线
的距离为
,
由,故以
为直径的圆与直线
相切.
②若时,则点
的坐标为
或
,直线
的方程为
,直线
的方程为
或
.将
代入直线
的方程得点
的坐标为
或
,线段
中点
的坐标为
或
,所以
.又点
到直线
的距离
由,故以
为直径的圆与直线
相切.
方法二:由(I)知.
依题意,直线的斜率存在,设直线
的方程为
,
设点的坐标为
,由
,消去
得
.
,
,
的坐标为
.
因为直线与
交点为
,
的坐标为
,
,
所以以为直径的圆的圆心坐标为
,半径为
.
①当直线的斜率存在,即
,
时,
直线的方程为
,即
,整理得
设圆心到直线
的距离为
,则
所以以为直径的圆与直线
相切.
②当直线的斜率不存在即
时,此时直线
的方程为
.
圆心坐标为,圆的半径为
,此时以
为直径的圆与直线
相切.
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【题目】某英语初学者在拼写单词“”时,对后三个字母的记忆有些模糊,他只记得由“
”、“
”、“
”三个字母组成并且字母“
”只可能在最后两个位置中的某一个位置上
如果该同学根据已有信息填入上述三个字母,那么他拼写正确的概率为
A. B.
C.
D.
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【题目】(本小题满分14分)已知过原点的动直线与圆
相交于不同的两点
,
.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点
的轨迹
的方程;
(3)是否存在实数,使得直线
与曲线
只有一个交点?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】某电器商场销售的彩电、U盘和播放器三种产品.该商场的供货渠道主要是甲、乙两个品牌的二级代理商.今年9月份,该商场从每个代理商处各购得彩电100台、U盘52个、
播放器180台.而10月份,该商场从每个代理商处购得的产品数量都是9月份的1.5倍.现知甲、乙两个代理商给出的产品单价(元)如下页表中所示:
彩电 | U盘 |
| |
甲代理商单价(元) | 2350 | 1200 | 750 |
乙代理商单价(元) | 2100 | 920 | 700 |
(1)计算,并指出结果的实际意义;
(2)用矩阵求该商场在这两个月中分别支付给两个代理商的购货费用.
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【题目】(13分)
在平面直角坐标系xOy中,抛物线上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足
(如图所示).
(Ⅰ)求得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】2018年双11当天,某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系,现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.9,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为140次.
(1)请完成下表,并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
对服务好评 | 对服务不满意 | 合计 | |
对商品好评 | 140 | ||
对商品不满意 | 10 | ||
合计 | 200 |
(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为X.
①求随机变量X的分布列;
②求X的数学期望和方差.
附:,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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