Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣2|．
（1）解不等式f（x）+f（x+1）≤2
（2）若a＜0，求证：f（ax）﹣af（x）≥f（2a）

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式f（x）+f（x+1）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2．

|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的点x到1、2对应点的距离之和，

而2.5 和0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2，

∴不等式的解集为[0.5，2.5]

（2）证明：∵a＜0，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|=|ax﹣2|+|2﹣ax|

≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|=f（2a﹣2），

∴f（ax）﹣af（x）≥f（2a）成立

【解析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）+f（x+1）≤2的解集．（2）由条件利用绝对值三角不等式，证得不等式成立．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．