Question

【题目】某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组（0，10]，第2组（10，20]，第3组（20，30]，第4组（30，40]，第5组（40，50]，得到的频率分布直方图如图所示．

（1）根据图中数据求a的值；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，5组各抽取多少名新生？
（3）在（2）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵（0.005+0.01+a+0.03+0.035）×10=1，

所以a=0.02．

（2）

解：依题意可知，

第3组的人数为0.3×100=30，

第4组的人数为0.2×100=20，

第5组的人数为0.1×100=10．

所以3、4、5组人数共有60．

所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名新生，分层抽样的抽样比为 = ．

所以在第3组抽取的人数为3人，

在第4组抽取的人数为2人，

在第5组抽取的人数为1人，

（3）

解：记第3组的3名新生为A，B，C，第4组的2名新生为a，b，第5组的1名新生为1．

则从6名新生中抽取2名新生，共有：

（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，1），

（B，C），（B，a），（B，b），（B，1），（C，a），

（C，b），（C，1），（a，b），（a，1），（b，1），共有15种．

其中第4组的2名新生a，b至少有一名新生被抽中的有：

（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），

（C，b），（a，b），（a，1），（b，1），共有9种，

则第4组至少有一名新生被抽中的概率P= =

【解析】（1）由各组的累积频率为1，构造关于a的方程，解方程可得a的值；（2）先计算各组学生的人数，进而求出抽样比，就可得到应从第3，4，5组各抽取多少名新生；（3）先计算从6名新生中抽取2名新生所有的情况总数，再求出第4组至少有一名志愿者被抽中的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
【考点精析】通过灵活运用频率分布直方图，掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息即可以解答此题．