Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）= ，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为 ．

Answer 1

【答案】1﹣2a
【解析】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∵当x≥0时，f（x）= ，

∴当x＜0时，f（x）=

作出图象：

∵关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的根转化为f（x）的图象与y=﹣a（0＜a＜1）图象的交点问题．

从图象上依次零点为：x1，x2，x3，x4，x5，

根据对称性得到零点的值满足x1+x2=﹣6，x4+x5=6，

x3满足：log （1﹣x3）=﹣a，

解得：

故得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a

所以答案是：1﹣2a．

【考点精析】认真审题，首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)．