Question

某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现f(n)近似地满足f(n)＝，其中，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．
（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；
（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．

Answer 1

（1）栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍;（2）第5年的增长高度最大．       

解析试题分析：（1）由题中所给条件，运用待定系数法不难求出，进而确定出函数，其中．由，运用解方程的方法即可求出，问题得解; （2）由前面（1）中已求得，可表示出第n年的增长高度为 ，这是一个含有较多字母的式子，这也中本题的一个难点，运用代数化简和整体思想可得： ，观察此式特征能用基本不等式的方法进行求它的最值，即：，成立的条件为 当且仅当时取等号，即可求出．
试题解析： （1）由题意知．
所以解得．                4分
所以，其中．
令，得，解得，
所以．                           
所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．  6分
（2）由（1）知．
第n年的增长高度为．  9分
所以 
                   12分
．
当且仅当，即时取等号，此时．
所以该树木栽种后第5年的增长高度最大．           14分
考点：1.待定系数法求解;2.函数的最值;3.基本不等式的运用