Question

【题目】设f（x）是定义在R上的函数，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex+1的解集为（ ）
A.（0，+∞）
B.（﹣∞，0）
C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：令g（x）=exf（x）﹣ex ，
则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex ，
∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）=ex[f（x）+f′（x）﹣1]＞0，
∴函数y=g（x）在R上单调递增．
∵f（0）=2，
∴g（0）=1．
∴当x＜0时，g（x）＜1；
当x＞0时，g（x）＞1．
∵exf（x）＞ex+1，
∴exf（x）﹣ex＞1，
即g（x）＞1，
∴x＞0．
故选A．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．