Question

17．函数u=$\sqrt{2t+4}$+$\sqrt{6-t}$的值域是[2$\sqrt{2}$，$2\sqrt{6}$]．

Answer 1

分析 利用换元法设x=$\sqrt{2t+4}$，y=$\sqrt{6-t}$，将条件转化为直线和椭圆的位置关系进行求解即可．

解答 解：设x=$\sqrt{2t+4}$，y=$\sqrt{6-t}$，则x²=2t+4，y²=6-t，消去t得x²+2y²=16，即$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，（0≤x≤4，0≤y≤2$\sqrt{2}$），
则函数转化为含参数u的直线y=-x+u，
如图：知当直线经过（0，2$\sqrt{2}$）时，u最小为2$\sqrt{2}$，
当直线与椭圆相切与第一象限时，u取得最大值，
此时由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+u}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，得3x²-4ux+2u²-16=0，
由判别式△=0得16u²-12（2u²-16）=0，
即u²=24，则u=$2\sqrt{6}$或u=-$2\sqrt{6}$，
∵直线过第一象限，∴u_max=$2\sqrt{6}$，
故所求的函数的值域为[2$\sqrt{2}$，$2\sqrt{6}$]，
故答案为：[2$\sqrt{2}$，$2\sqrt{6}$]，

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法，转化为直线和椭圆的位置关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．