Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；
（3）证明平面EFG⊥平面PAD，并求点D到平面EFG的距离．

Answer 1

（1）证明：E，G分别是PC，BC的中点得EG∥PB，
∵EG?平面PAB，PB∥平面PAB
∴EG∥平面PAB
又E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又AB∥CD
∴EF∥AB
∵EF?平面PAB，AB⊆平面PAB
∴EF∥平面PAB，
又∵EG，EF?平面EFG，EG∩EF=E，
∴平面PAB∥平面EFG．
（2）Q为PB的中点，连QE，DE，又E是PC的中点，
∴QE∥BC，又BC∥AD，∴QE∥AD
∴平面ADQ，即平面ADEQ，
∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PD⊥DC，又PD=AB=2，ABCD是正方形，
∴等腰直角三角形PDC
由E为PC的中点知DE⊥PC．
∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD
∴PD⊥AD，
又AD⊥DC，PD∩CD=D，
∴AD⊥面PDC．
∵PC?面PDC
∴AD⊥PC，且AD∩DE=D．
∴PC⊥平面ADEQ，
即PC⊥平面ADQ
由于EQ∥BC∥AD，
∴ADEQ为平面四边形，
由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，
又AD⊥CD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PDC，
∵PC?平面PDC，
∴AD⊥PC，
又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，
∴DE⊥PC，AD∩DE=D，
∴PC⊥平面ADQ．
（2）∵CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，
∴CD⊥平面PAD，
又EF∥CD，
∴EF⊥平面PAD，
∵EF?平面EFG，
∴平面EFG⊥平面PAD．
取AD中点H，连接FH，GH，
则HG∥CD∥EF，平面EFGH即为平面EFG，
在平面PAD内，作DO⊥FH，垂足为O，
则DO⊥平面EFGH，
DO即为D到平面EFG的距离，
在三角形PAD中，H，F为AD，PD中点，
∴DO=FDsin45°=

2

2

．
即D到平面EFG的距离为

2

2

．