Question

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分6分．
已知的顶点在椭圆上，在直线上，
且．
（1）求边中点的轨迹方程；
（2）当边通过坐标原点时，求的面积；
（3）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

Answer 1

（1）（2）
（3）

（1）设所在直线的方程为
由得．                （2分）
因为在椭圆上，所以．
设两点坐标分别为，中点为
则， ，
所以中点轨迹方程为          （4分）
（2），且边通过点，故所在直线的方程为．
此时，由（1）可得，所以  （6分）
又因为边上的高等于原点到直线的距离，所以      （8分）
．                                      （10分）
（3）由（1）得，，
所以．                         （12分）
又因为的长等于点到直线的距离，即． （14分）
所以．
所以当时，边最长，（这时）
此时所在直线的方程为．                         （16分）