精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
7.若函数$f(x)=|sinx+\frac{2}{3+sinx}+t|(x,t∈R)$最大值记为g(t),则函数g(t)的最小值为$\frac{3}{4}$.

分析 化简sinx+$\frac{2}{3+sinx}$=sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3,从而可得0≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3≤$\frac{3}{2}$,区间[0,$\frac{3}{2}$]的中点值为$\frac{3}{4}$,故讨论t与$\frac{3}{4}$的大小,从而求得g(t)=fmax(x)=$\left\{\begin{array}{l}{t,t≥\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{2}-t,t<\frac{3}{4}}\end{array}\right.$,从而求值.

解答 解:∵sinx+$\frac{2}{3+sinx}$
=sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3,
∵-1≤sinx≤1,
∴2≤sinx+3≤4,
∴3≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$≤$\frac{9}{2}$,
∴0≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3≤$\frac{3}{2}$,
∴g(t)=fmax(x)=$\left\{\begin{array}{l}{t,t≥\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{2}-t,t<\frac{3}{4}}\end{array}\right.$,
∴当t=$\frac{3}{4}$时,函数g(t)有最小值为$\frac{3}{4}$;
故答案为;$\frac{3}{4}$.

点评 本题考查了对勾函数的应用及分段函数的应用,同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.用描述法表示下列集合:
(1)正偶数集;
(2)被3除余2的正整数集合;
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.已知函数h(x)=x-(a+1)lnx-$\frac{a}{x}$,求函数h(x)的单调递减区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

15.已知集合$A=\left\{{\left.x\right|y=\frac{1}{{\sqrt{-3x-{x^2}}}}}\right\}$,集合$B=\left\{{\left.x\right|\frac{1}{8}<{2^x}<2}\right\}$.
(1)求A∩B;
(2)若集合C={x|2a≤x≤a+1},且(A∩B)?C,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

2.过双曲线C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆C2:x2+y2=a2的切线,设切点为M,延长FM交双曲线C1于点N,若点M为线段FN的中点,则双曲线C1的离心率为(  )
A.$\sqrt{5}$B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$C.$\sqrt{5}$+1D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

12.设 m、n是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(  )
A.若m∥n,n?α,则m∥αB.若m∥α,n?α,则m∥nC.若m⊥n,n?α,则m⊥αD.若m⊥α,m∥n,则n⊥α

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

19.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2$\sqrt{2}$,AA1=4,E,F分别为棱AB,CD的中点,则三棱锥B1-EFD1的体积为(  )
A.$\frac{\sqrt{6}}{6}$B.$\frac{16\sqrt{3}}{3}$C.$\frac{16}{3}$D.16

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

16.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于(  )
A.-4B.-2C.0D.2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.已知数列{an}满足$\frac{1}{lg(1-\sqrt{{a}_{1}})}$+$\frac{2}{lg(1-\sqrt{{a}_{2}})}$+…+$\frac{n}{lg(1-\sqrt{{a}_{n}})}$=-$\frac{n}{lg2}$(n≥1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对于任意实数x和正整数n,
(Ⅰ)证明:$\frac{{a}_{n}}{n}$≥x($\frac{1}{{2}^{0}}$-x)+x($\frac{1}{2}$-x)+x($\frac{1}{{2}^{2}}$-x)+…+x($\frac{1}{{2}^{n-1}}$-x);
(Ⅱ)证明:$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$>$\frac{2(n-1)^{2}}{n(n+1)}$.

查看答案和解析>>

同步练习册答案