Question

16．已知f（x）=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）-2{cos^2}x+\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）由f（A）=1，可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜A＜π，可得$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，从而求得A，由余弦定理可解得bc的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）-2{cos^2}x+\frac{3}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（2x）+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调增区间是：[kπ$-\frac{π}{3}$，kπ$+\frac{π}{6}$]，（k∈Z）．---------------（6分）
（Ⅱ）∵f（A）=1，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得：A=$\frac{π}{3}$，
∵a=1，b+c=2，A=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得：1=b²+c²-2bccosA，解得：bc=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．-----------------------（13分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．