Question

直线L的方程为x=-

p

2

，其中p＞0；椭圆E的中心为O′(2+

p

2

，0)，焦点在X轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为A(

p

2

，0)，问p在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离．

Answer 1

分析：根据到点A的距离等于该点到直线L的距离的点的轨迹是以A为焦点的抛物线，并且轨迹方程为y²=2px．利用椭圆的几何性质得到椭圆的方程，又根据题意可得：抛物线与椭圆相交，进而得到相应的方程组有实数解，从而得出p的取值范围．

解答：解：因为椭圆上有四个不同的点到点A的距离等于该点到直线L的距离相等，
所以由抛物线的定义知：这四个不同的点在是以A为焦点的抛物线，所以点P的方程为y²=2px．
又根据题意，椭圆的方程为：（x-2-

p

2

）²+4y²=4，
则联立椭圆与抛物线的方程，消去y，
可得：x²-（4-7p）x+2p+

p2

4

=0，此方程必有正实数根，
所以△=（4-7p）²-4（2p+

p2

4

）≥0，且4-7p＞0，p＞0，
解得：0＜p＜

1

3

．
故p在（0，

1

3

）范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离．

点评：本题考查抛物线定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，并且也考查椭圆的简单性质，解题时要认真审题，仔细解答．