Question

已知x＞0，给出下列四个不等式：
（Ⅰ）x＞ln（1+x）；
（Ⅱ）

1-x

＞1+

x

2

-

x2

8

；
（Ⅲ）ax＞（a+1）^x（a＞0）；
（Ⅳ）sinx+cosx＞1+x-x²．
则其中恒成立的不等式的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：（Ⅰ）构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论；
（Ⅱ）根据函数的定义域，取特殊值进行判断；
（Ⅲ）利用特殊值法进行判断；
（Ⅳ）利用数形结合即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）设f（x）=x-ln（1+x），则f'（x）=1-

1

1+x

=

x

1+x

，
当x＞0时，f'（x）＞0．此时函数单调递增，
∴f（x）＞f（0）=0，
即x＞ln（1+x）成立；
（Ⅱ）当x=2时，

1-x

无意义，∴

1-x

＞1+

x

2

-

x2

8

不恒成立；
（Ⅲ）当a=1，不等式ax＞（a+1）^x（a＞0）等价为x＞2^x，当x=1时，不等式x＞2^x不成立，∴Ⅲ错误；
（Ⅳ）作出函数y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)和y=1+x-x²的图象如图，则当x＞0时，sinx+cosx＞1+x-x²．恒成立．
故选：B

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用数形结合，导数法以及特殊值法是解决本题的关键．