Question

【题目】定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；
（2）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解．

当f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），时，

方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，

所以f（x）为“局部奇函数”．

（2）解：当f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，

因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．

令t=2x∈[ ，2]，则﹣2m=t+ ．

设g（t）=t+ ，则g'（t）= ，

当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，

当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．

所以t∈[ ，2]时，g（t）∈[2， ]．

所以﹣2m∈[2， ]，即m∈[﹣ ，﹣1]．

（3）解：当f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0．

t=2x+2﹣x≥2，则4x+4﹣x=t2﹣2，

从而t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解即可保证f（x）为“局部奇函数”．

令F（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，

1° 当F（2）≤0，t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解，

由当F（2）≤0，即2m2﹣4m﹣4≤0，解得1﹣ ≤m≤1+ ；

（说明：也可转化为大根大于等于2求解）

综上，所求实数m的取值范围为1﹣ ≤m≤2

【解析】（1）利用局部奇函数的定义，建立方程f（﹣x）=﹣f（x），然后判断方程是否有解即可；（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（﹣x）=﹣f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案；（3）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（﹣x）=﹣f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案；