Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow{b}$=（2，-3），当k为何值时，
（1）k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直？
（2）k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$平行？平行时它们是同向还是反向？

Answer 1

分析 直接由向量的数乘及坐标加减法运算，以及向量垂直和平行的条件即可求出k的值

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow{b}$=（2，-3），
∴k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=k（1，1）-2（2，-3）=（k-4，k+6），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，-2），
∵（k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
∴（k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
∴3（k-4）-2（k+6）=0，
解得k=24，
∴当k=24时，k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直；
（2）若∵（k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）与（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）平行，
∴-2（k-4）=3（k+6），
解之得k=-2，
这时k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（-6，-4）=-2（3，-2）=-2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），它们是反向．

点评 本题考查了向量坐标形式的加减法和数乘法则的综合运算、向量共线的坐标条件，直接代入公式求解．