Question

12．在直角△ABC 中，∠A=90°，M 是BC 的中点，$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{CN}$=-$\frac{5}{13}$$\overrightarrow{BC}$²，则tan∠ABC=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{17}}{3}$

Answer 1

分析 向量的加减的几何意义和向量的数量积公式以同角的三角函数的关系即可求出．

解答 解：如图所示，
△ABC 中，∠A=90°，M 是BC 的中点，$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AN}$，
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BN}$=-$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$
∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$•（-$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$）
=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$=-$\frac{5}{13}$$\overrightarrow{BC}$²，
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$=$\frac{9}{26}$${\overrightarrow{BC}}^{2}$，
∴|$\overrightarrow{BA}$|cosB=$\frac{9}{26}$|$\overrightarrow{BC}$|；
∴$\frac{|\overrightarrow{BA}|}{|\overrightarrow{BC}|}$cosB=cos²B=$\frac{9}{26}$，
∴sin²B=1-cos²B=$\frac{17}{26}$
∴tan²B=$\frac{{sin}^{2}B}{{cos}^{2}B}$=$\frac{17}{9}$，
tanB=$\frac{\sqrt{17}}{3}$
即tan∠ABC=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积公式以同角的三角函数的关系，属于中档题