Question

设正整数数列满足：，且对于任何，有．
（1）求，；
（2）求数列的通项．

Answer 1

(1)  ， ；(2) .

试题分析：（1）令，根据算得,再根据是正整数，算得.
当时,同样根据,将代入，得到的范围，根据是正整数，求得.
(2）先根据可猜想，再用数学归纳法证明．
试题解析：解：（1）据条件得   ①
当时，由，即有，
解得．因为为正整数，故．
当时，由，
解得，所以．
（2）方法一：由，，，猜想：．
下面用数学归纳法证明．
1当，时，由（1）知均成立；
2假设成立，则，则时
由①得


因为时，，所以．
，所以．
又，所以．
故，即时，成立．
由1，2知，对任意，．
（2）方法二：
由，，，猜想：．
下面用数学归纳法证明．
1当，时，由（1）知均成立；
2假设成立，则，则时
由①得
即②
由②左式，得，即，因为两端为整数，
则．于是③
又由②右式，．
则．
因为两端为正整数，则，
所以．
又因时，为正整数，则④
据③④，即时，成立．
由1，2知，对任意，．