Question

桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式．
某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地
1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土
堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，鱼塘周围的基围
宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a：b=1：2．
（1）试用x，y表示S；
（2）若要使S最大，则x，y的值各为多少？

Answer 1

分析：（1）由已知该项目占地为1800平方米的矩形地块，我们可得xy=1800，结合图形还易得b=2a，及y=a+b+6=3a+6，由此我们易将池塘所占面积S表示为变量x，y的函数．
（2）要求S的最大值，我们有三种思路：①根据xy=1800，直接使用基本不等式；②根据xy=1800，消元后再使用基本不等式；③根据xy=1800，消元后利用导数判断函数的单调性，再求最大值．

解答：解：（1）由题可得：xy=1800，b=2a，
则y=a+b+6=3a+6，
即a=

y-6

3

．
S=（x-4）a+（x-6）×b=（3x-16）

y-6

3

=1832-6x-

16

3

y（x＞0）．
（2）法一：S=1832-6x-

16

3

y≤1832-2

6x× 16 3 y

=1832-480=1352，
当且仅当6x=

16

3

y，即x=40，y=45时，S取得最大值1352．
法二：S=1800-6x-

16

3

×

1800

x

+32=1832-（6x+

9600

x

）≤1832-2

6x 9600 x

=1832-480=1352，
当且仅当6x=

9600

x

，即x=40时取等号，S取得最大值．
此时y=

1800

x

=45．
法三：设S=f（x）=1832-（6x+

9600

x

）（x＞0）
f′（x）=

9600

x2

-6=

6(40-x)(40+x)

x2

．
令f′（x）=0，得x=40．
当0＜x＜40时，f′（x）＞0；当x＞40时，f′（x）＜0．
∴当x=40时，S取得最大值，此时y=45．

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．