Question

已知f（x）=ax²+4x+1（a＜0），对于给定的负数a，存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立．
（1）当a=-1时，求t的值；           
（2）求t关于a的表达式g（a）；
（3）求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，f（x）=-（x-2）²+5要使存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立，t只能是-x²+4x+1=3的较小的根即可；
（2）利用二次函数的性质求出函数的最大值，研究二次函数的最值与3的大小关系，分类讨论，可求t关于a的表达式g（a）；
（3）由（2）中所得的表达式，求其最值即可．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=-（x-2）²+5
由于函数f（x）的最大值大于3，要使存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立，所以t只能是-x²+4x+1=3的较小的根2-

2

（2）由a＜0，f(x)=a(x+

2

a

)2+1-

4

a

当 1-

4

a

＞3，即-2＜a＜0时，要使|f（x）|≤3，在区间[0，t]上恒成立，要使得正数t最大，正数t只能是ax²+4x+1=3的较小的根，即t=

2a+4 -2

a

；
当 1-

4

a

≤3，即a≤-2时，要使|f（x）|≤3，在区间[0，t]上恒成立，要使得正数t最大，正数t只能是ax²+4x+1=-3的较大的根，即t=

-2 1-a -2

a

；
所以g(a)=

2a+4 -2 a (-2＜a＜0) -2 1-a -2 a (a≤-2)

（2）当-2＜a＜0时，t=

2a+4 -2

a

=

2

2a+4 +2

＜

1

2

；
当a≤-2时，t=

-2 1-a -2

a

=

2

1-a -1

≤

2

3 -1

=

3

+1；
所以g（a）的最大值为

3

+1．

点评：本题考查二次函数的性质，求解的关键是正确理解“对于给定的负数a，存在一个最大的正数t，在区间[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立”，要根据二次函数的性质与图象好好研究．