Question

【题目】已知函数f（x）= ，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（ ）
A.（0， ）
B.（0， ]
C.（0， ）
D.（0， ]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：当x≤0时，由y= 得y2﹣9x2=1，（x≤0），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y=﹣3x，此时渐近线的斜率k1=﹣3， 当x＞0时，f（x）=1+xex﹣1 ， 当过原点的直线和f（x）相切时，设切点为（a，1+aea﹣1），
函数的导数f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（x+1）ex﹣1 ，
则切线斜率k2=f′（a）=（a+1）ea﹣1 ，
则对应的切线方程为y﹣（1+aea﹣1）=（1+a）ea﹣1（x﹣a），
即y=（1+a）ea﹣1（x﹣a）+1+aea﹣1 ，
当x=0，y=0时，（1+a）ea﹣1（﹣a）+1+aea﹣1=0，
即a2ea﹣1+aea﹣1=1+aea﹣1 ，
即a2ea﹣1=1，得a=1，此时切线斜率k2=2，
则切线和y=﹣3x的夹角为θ，
则tanθ=| |= ，则θ= ，
故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（0， ），
故选：A．