Question

（2013•红桥区二模）已知函数f（x）=ax²-e^x（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（e为自然对数的底数）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，求实数a的取值范围；
（3）若当x≥0时，不等式f（x）≤-x-1恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意求出f′（x），再求出f′（0）和f（0）的值，代入点斜式进行化简，化为一般式方程；
（Ⅱ）先构造函数g（x）=f′（x），再将题意转化为x₁，x₂是方程g（x）=0的两个实根，再求出g′（x），对a进行分类分别求出g（x）的单调区间以及最大值，再令最大值大于零，列出关于a的不等式求解；
（Ⅲ）由题意先构造函数h（x）=e^x-ax²-x-1，转化为h（x）≥0在[0，+∞）恒成立问题，再求出h（x）的单调性和最小值，关键是对a进行分类后，得到“当a=0时，e^x≥1+x”这一结论在后面的应用．

解答：心理年龄解：（Ⅰ）由题意得，当a=1时，f（x）=x²-e^x，
∴f′（x）=2x-e^x，则切线的斜率为f′（0）=-1，
∵f（0）=-e⁰=-1，
∴所求的切线方程为：x+y+1=0；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax-e^x，
由题意得，x₁，x₂是方程g（x）=0（即2ax-e^x=0）的两个实根，
则g′（x）=2a-e^x，
当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在定义域上递减，即方程g（x）=0不可能有两个实根，
当a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，
当x∈（-∞，ln2a）时，g′（x）＞0，则g（x）在（-∞，ln2a）上递增，
当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（-∞，ln2a）上递减，
∴g_max（x）=g（ln2a）=2aln2a-2a，
∵方程g（x）=0（即2ax-e^x=0）有两个实根，
∴2aln2a-2a＞0，解得2a＞e即a＞

e

2

，
（Ⅲ）设h（x）=e^x-ax²-x-1，则由题意得h（x）=e^x-ax²-x-1≥0在[0，+∞）恒成立，
则h′（x）=e^x-2ax-1，
当a=0时，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（0）=0，即e^x≥1+x，当且仅当x=0时，等号成立，
∴h′（x）=e^x-2ax-1≥1+x-2ax-1=x（1-2a），
当1-2a≥0时，即a≤

1

2

，此时h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（0）=e⁰-0-1=0，即h（x）≥0，
因而a≤

1

2

时，h（x）≥0，
下面证明a＞

1

2

时的情况：
由e^x≥1+x得，e^-x≥1-x，即x≥1-e^-x，
∴h′（x）=e^x-1-2ax≤e^x-1-2a（1-e^-x）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a）
当e^x＜2a时，即0＜x＜ln2a，则当x∈（0，ln2a）时，h′（x）＜0，从而h（x）＜0，
因此，对于x≥0，f（x）≤-x-1不恒成立，
综上所得，a的最大值为

1

2

．

点评：本题考查了导数的几何意义，方程的根与函数零点的关系，导数与函数的单调性、极值、最值的综合应用，考查了转化思想、分类讨论思想以及分析、解决问题的能力．