Question

如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，D，E分别为AB，PC的中点．
（1）在BC边上是否存在一点F，使得PB∥平面DEF．
（2）若∠PAC=∠PBC=90°，证明：AB⊥PC；
（3）在（2）的条件下，若AB=2，AC=

5

，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）取BC的中点为F，连接DE，EF，DF，根据三角形的中位线的性质可知EF∥PB，利用线面平行的判定定理，即可得PB∥平面DEF；
（2）要证AB⊥PC，根据线面垂直的性质定理，只需证明AB⊥平面PDC即可；
（3）因为AB⊥平面PDC，所以三棱锥体积的计算可转化为以△PDC为底，AB为高即可．

解答：解：（1）取BC的中点为F，连接DE，EF，DF
∵E为PC的中点
∴EF∥PB
∵PB?平面DEF，EF?平面DEF
∴PB∥平面DEF…（4分）
（2）证明：因为△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，
∴AC=BC．
连接PD，CD，
∴PD⊥AB，CD⊥AB，
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PDC，
∵PC?平面PDC，
∴AB⊥PC…（8分）
（3）∵PD=

3

，CD=2，PC=3
∴cos∠PDC=

4+3-9

2×2× 3

=-

3

6

∴sin∠PDC=

33

6

∴S△PDC=

1

2

×2×

3

×

33

6

=

11

2

∵AB⊥平面PDC，AB=2
∴三棱锥体积为：VP-ABC=

1

3

×

11

2

×2=

11

3

…（12分）

点评：本题以三棱锥为载体，考查线面垂直、线面平行的判定与性质，考查三棱锥的体积，考查学生分析转化问题的能力．解题的关键是正确运用线面垂直、线面平行的判定与性质．