Question

（2011•成都二模）记（b_n）_i=i+

1

2

+log2

i

n+1-i

，其中i，n∈N^*，i≤n，如（b_n）₃=3+

1

2

+log2

3

n+1-3

，令S_n=（b_n）₁+（b_n）₂+（b_n）₃+…+（b_n）_n．
（I）求（b_n）₁+（b_n）_n的值；   
（Ⅱ）求S_n的表达式；
（Ⅲ）已知数列{a_n}满足S_n•a_n=1，设数列{a_n}的前n项和为T_n，若对一切n∈N^*，不等式

11λ-3n2

(n+1)(n+2)

≤11(Tn-

3

2

)恒成立，求实数λ的最大值．

Answer 1

分析：（I）由（b_n）_i=i+

1

2

+log2

i

n+1-i

，知（b_n）₁+（b_n）_n=（1+

1

2

+log2

1

n+1-1

）+（n+

1

2

+log2

n

n+1-n

），由此能求出（b_n）₁+（b_n）_n=n+2．
（Ⅱ）由S_n=（b_n）₁+（b_n）₂+（b_n）₃+…+（b_n）_n，知S_n=（b_n）_n+（b_n）_n-1+…+（b_n）₂+（b_n）₁，从而得到2S_n=（b_n）₁+（b_n）_n+（b_n）₂+（b_n）_n-1+（b_n）₃+（b_n）_n-2+…+（b_n）_n+（b_n）₁=n（n+2），由此能求出S_n的表达式．
（Ⅲ）由an=

1

Sn

=

2

n(n+2)

=

1

n

-

1

n+2

，知Tn=(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

，故

11λ-3n2

(n+1)(n+2)

≤11(Tn-

3

2

)恒成立，从而得到λ≤(

3

11

n2 -2n-3)min，由此能求出实数λ的最大值．

解答：解：（I）∵（b_n）_i=i+

1

2

+log2

i

n+1-i

，
∴（b_n）₁+（b_n）_n=（1+

1

2

+log2

1

n+1-1

）+（n+

1

2

+log2

n

n+1-n

）
=n+2+log2

1

n

+log2n
=n+2．
（Ⅱ）∵S_n=（b_n）₁+（b_n）₂+（b_n）₃+…+（b_n）_n，
S_n=（b_n）_n+（b_n）_n-1+…+（b_n）₂+（b_n）₁，
∴2S_n=（b_n）₁+（b_n）_n+（b_n）₂+（b_n）_n-1+（b_n）₃+（b_n）_n-2+…+（b_n）_n+（b_n）₁
=n（n+2），
∴Sn=

n(n+2)

2

．
（Ⅲ）∵an=

1

Sn

=

2

n(n+2)

=

1

n

-

1

n+2

，
∴Tn=(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)
=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

，
当

11λ-3n2

(n+1)(n+2)

≤11(Tn-

3

2

)恒成立．
∴

11λ-3n2

(n+1)(n+2)

≤-11(

1

n+1

+

1

n+2

)恒成立，
∴11λ-3n²≤-11（2n+3）恒成立，
∴λ≤

3

11

n2-2n-3恒成立，
∴λ≤(

3

11

n2 -2n-3)min，
而

3

11

n2-2n-3=

3

11

(n2-

22

3

n)-3，n∈N^*．
∴n=4时，

3

11

n2-2n-3取得最小值-

73

11

．
∴λ≤-

73

11

，实数λ的最大值为-

73

11

．

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点，易错点是λ≤(

3

11

n2 -2n-3)min的推导．解题时要认真审题，仔细解答．