Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AB⊥平面PAD，E为PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若AD⊥PB，求证：PA⊥平面ABCD．

Answer 1

证明：（1）取PD中点F，连接EF，AF．

因为E是PC的中点，F是PD的中点，
所以EF∥CD，且CD=2EF．
又因为AB∥CD，CD=2AB，
所以EFAB，即四边形ABEF是平行四边形．
所以BE∥AF．…（5分）
又AF?平面PAD，BE?平面PAD，
所以BE∥平面PAD．…（8分）
（2）因为AB⊥平面PAD，PA，AD?平面PAD，
所以Ab⊥AD，AB⊥PA…（10分）
因为AD⊥AB，AD⊥PB，AB∩PB=B，
所以AD⊥平面PAB．…（12分）
又PA?平面PAB，
所以AD⊥PA，
因为AB∩AD=A，
所以PA⊥面ABCD．…（14分）
分析：（1）取PD中点F，连接EF，AF，可得EF∥CD，且CD=2EF，再结合题意可得EFAB，即可得到BE∥AF，进而根据线面平行的判定定理得到线面平行．
（2）由题意可得：AB⊥AD，AB⊥PA，再结合线面垂直的判定定理可得：AD⊥平面PAB，则得到AD⊥PA，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直．
点评：本题主要考查空间中直线与平面、直线与直线的位置关系，解决此类问题的关键是熟练掌握线面平行与线面垂直的判定定理，此题属于基础题，考查形式的逻辑推理与空间想象能力．