Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c
（Ⅰ）当b=1时，若函数f（x）在（0，1]上为增函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于原点O对称，在点P（x₀，f（x₀））处的切线为l，l与函数f（x）的图象交于另一点Q（x₁，y₁）．若P，Q在x轴上的射影分别为P₁、Q₁，

OQ1

=λ

OP1

，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）在（0，1]上为增函数，则导数大于等于零在（0，1]上恒成立，再转化为最值法求解．
（Ⅱ）由已知可得函数为奇函数，可求得a，c，再由“在点P（x₀，f（x₀））处的切线为l”确定切线方程，与函数f（x）联立得x³+bx-[（3x₀²+b）（x-x₀）+y₀]=0．再由y₀=f（x₀）=x₀³+bx₀，消元解得x₀．再代入

OQ1

=λ

OP1

，求解结果．

解答：解：（Ⅰ）∵b=1，∴f'（x）=3x²+2ax+1．
又因为函数f（x）在（0，1]上为增函数，
∴3x²+2ax+1≥0在（0，1]上恒成立，等价于a≥-(

3

2

x+

1

2x

)在（0，1]上恒成立．
又∵-(

3

2

x+

1

2x

)≤-2

3 2 x• 1 2x

=-

3

，
故当且仅当x=

3

3

时取等号，而

3

3

∈(0，1]，∴a的最小值为-

3

．（6分）

（Ⅱ）由已知得：函数f（x）=x³+ax²+bx+c为奇函数，
∴a=0，c=0，∴f（x）=x³+bx，（7分）∴f'（x）=3x²+b．
∵切点为P（x₀，y₀），其中y₀=f（x₀），
则切线l的方程为：y=（3x₀²+b）（x-x₀）+y₀（8分）
由

y=(3x02+b)(x-x0)+y0 y=x3+bx

，得x³+bx-[（3x₀²+b）（x-x₀）+y₀]=0．
又y₀=f（x₀）=x₀³+bx₀，∴x³-x₀³+b（x-x₀）-（3x₀²+b）（x-x₀）=0，
∴（x-x₀）（x²+x₀x-2x₀²）=0，∴（x-x₀）²（x+2x₀）=0，∴x=x₀或x=-2x₀，
由题意知，x₀≠0从而x₁=-2x₀．
∵

OQ1

=λ

OP1

，
∴x₁=λx₀，
∴λ=-2．（12分）

点评：本题主要通过单调性的应用来考查恒成立问题，这类问题往往又要转化为单调性求新函数最值来解决，还考查了导数的几何意义，来解决直线与曲线的位置关系．